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Critérios de divisibilidade

Publicado em 04/04/2017

 

Prezados leitores, às vezes queremos saber se um número natural é divisível por outro. Por exemplo, um menino tem 52 bolinhas de gude e quer dividi-las com seus três colegas. Será que todos ficarão com o mesmo número de bolas? Por ser um número relativamente pequeno é fácil concluir que cada garoto ficará com 13 bolinhas. E quando estamos com dois amigos em um restaurante e o garçom apresenta a conta no valor de 411 reais, se formos dividi-la em três partes iguais, cada um pagará a mesma quantia? É possível saber que a divisão não deixará resto antes de executá-la? A resposta é sim, desde que se conheça os critérios de divisibilidade.
Um número natural é divisível por outro quando o resto da divisão é igual a zero. O número que divide é chamado de divisor e o número que é dividido é chamado de dividendo, sendo o resultado chamado de quociente. Quando o resto da divisão é igual a zero, dizemos que o dividendo é múltiplo do divisor. Assim, em 6 : 3 = 2 o dividendo é 6, o divisor é 3 e o quociente é 2. Como a divisão é perfeita e o resto é igual a zero, dizemos que o dividendo é múltiplo do divisor.
Vejamos alguns casos de divisibilidade. É óbvio que todo número é divisível por 1 e o resultado é o próprio número. A divisão por 2 também é muito simples: teremos resto igual a 0 quando o número for par. A divisão por 3 já não é tão conhecida. Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos resultar em um número múltiplo de 3. No exemplo da conta, 411 é divisível por 3 porque somamos os seus algarismos (4 + 1 + 1) e obtemos 6, que é múltiplo de 3.
A divisão exata por 4 é possível quando os dois últimos algarismos do dividendo são iguais a 00 ou formam um número múltiplo de 4. Por exemplo, os números 73500 e 91736 são divisíveis por 4 porque o primeiro termina em 00 e o segundo finaliza-se em 36, que é múltiplo de 4.
Saber se um número é divisível por 5 é muito simples: ele o será sempre que for terminado em 0 ou em 5, como em 89730 e 98765.
Um número é divisível por 6 quando for divisível simultaneamente por 2 e 3. 4152 é divisível por 6 porque é par (logo, é divisível por 2) e porque a soma de seus algarismos é igual a 12, que é múltiplo de 3.
O critério de divisibilidade para o 7 é um dos mais complexos. Para saber se um número é divisível por 7 deve-se separar o seu último algarismo, dobrar o seu valor e fazer a subtração entre os demais algarismos e este dobrado. Se a diferença resultar em um múltiplo de 7, então o número inicial é divisível por 7. Vamos verificar, por exemplo, o 203. Dobrando o último algarismo temos 3 x 2 = 6. A diferença 20 – 6 = 14, que é múltiplo de 7; logo, 203 é múltiplo de 7. E se o número a ser verificado for grande? Não há problema. Repita as operações tantas vezes quanto necessário. Vamos verificar o 14812. Temos que 2 x 2 = 4 e 1481 – 4 = 1477. Repetindo a operação, 7 x 2 = 14 e 147 – 14 = 133. Fazendo mais uma vez, 3 x 2 = 6 e 13 – 6 = 7, o que confirma que 14812 é múltiplo de 7.
Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número múltiplo de 8. Os números 135000 e 917056 são divisíveis por 8, pois o primeiro termina com três zeros e o segundo finaliza-se em 056, que é múltiplo de 8 (56 : 8 = 7).
A divisibilidade por 9 é muito simples. O número será divisível por 9 quando a soma de seus algarismos resultar em um múltiplo de 9. O número 387 é divisível por 9 porque a soma de seus algarismos (3 + 8 + 7 = 18) gera um múltiplo de 9. Ainda que tenhamos um número inicial excessivamente grande, não é difícil fazer a verificação. Por exemplo, 7987654321083 é divisível por 9, visto que a soma de seus algarismos é igual a 63, que também é divisível por 9.
Finalizando a nossa relação, temos o simplicíssimo critério de divisibilidade para o 10. Um número será divisível por 10 quando for terminado em 0.
Para que o leitor possa praticar, pegue o número 2520 e verifique que ele é divisível por todos os números de 1 a 10. Na verdade, ele é o menor múltiplo que é comum a todos eles.
   Amigos leitores, até o próximo texto, se Deus nos permitir!

Paulo de Tarso Ramos

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